教师前言
本书是一本抽象代数的导引教材. 假设学生已经学习了微积分和线性代数. 然而，
这主要是指数学能力；微积分和线性代数的具体知识主要用来解释例子和习题.
本书的前几版一直试图在基础教程中教给学生尽可能多的群、环和域的知识. 对很
多学生而言，抽象代数是他们第一次接触到用公理化处理数学. 只要认识到这一点，实
际上就可以解释本书试图完成什么，怎样完成，以及为什么选择以这样的方式来完成.
熟练掌握本书的知识，可以为更专业的代数工作奠定坚实基础，也为进一步研究数学公
理化提供宝贵经验.
本版更新
编者按：读者可能已经注意到，这一版新增加了一位作者！很高兴尼尔·布兰德同
意参与更新这部经典教材. 他工作十分认真细心，编写的内容忠实于本书所传递的精神.
尼尔在北得克萨斯州大学多年教授这门课程的经验，使他能够对约翰·B. 弗雷利的著
作提供有意义和有价值的更新.
习题
这一版更新了很多习题，并且增加了许多新习题. 为防止学生使用上一版本的答案，
特意替换或改写了一些习题.
作者写了一个教师解答手册，可以在 www.pearson.com 上找到，仅供教师使用. 一其
中的答案和证明，大多是概要式的或是简单提示，不是完整规范形式.
组织和修改
下面对每章的改动进行说明，先说明整体改动，然后列出每节内容的重要改动. 改
动较小的部分不罗列.
第 1 章：群和子群
. 改动概述：主要目的是定义群，尽早引入对称群和二面体群. 通过有限群的具体例
子介绍这两类群，这些例子在整本书中都有用.
一 关于教辅资源，仅提供给采用本书作为教材的教师用于课堂教学、布置作业、发布考试等. 如有需要的教师，请直
接联系 Pearson 北京办公室查询并填表申请. 联系邮箱：Copub.Hed@pearson.com. ——编辑注
V
. 1.1 节（二元运算）对应旧版第 2 节. 增加了二元运算单位元的定义.
. 1.2 节（群）对应旧版第 4 节. 包含群同构的正式定义.
. 1.3 节（交换群的例子）对应旧版第 1 节. 包含单位圆群，Ra 和 Zn 的定义. 用单
位圆群证明 Zn 和 Ra 的结合律.
. 1.4 节（非交换群的例子）基于旧版第 5 节、第 8 节和第 9 节的部分内容. 定义了
二面体群和对称群. 给出二面体群的标准记号. 在对称群中引入置换的两行表示法
和循环表示法.
. 1.5 节（子群）对应旧版第 5 节. 包含子集是子群的两个充分条件，将其证明留作
习题. 对新版第 4 节中的例子的使用稍做改动.
. 1.6 节（循环群）对应旧版第 6 节. 增加二面体群和对称群的应用例子.
. 1.7 节（生成集和凯莱有向图）在旧版第 7 节的基础上稍做改动.
第 2 章：群结构
. 改动概述：主要目的是更早给出同态的正式定义，以便简化凯莱定理和拉格朗日
定理的证明.
. 2.8 节（置换群）包含同态的正式定义. 基于旧版第 8 节、第 9 节和第 13 节部分
内容. 在证明凯莱定理之前，用置换的两行表示法引出证明. 删除旧版第 13 节前
半部分 (放在新版第 4 节中). 删除奇偶置换的行列式证明，因为行列式的定义通
常要用到置换的符号. 保留轨道计数证明. 把行列式证明和对换计数的证明留作
习题.
. 2.9 节（有限生成交换群）对应旧版第 11 节. 增加定理的不变因子版本，说明在
基本定理的两个版本之间如何转换.
. 2.10 节 (陪集和拉格朗日定理) 对应旧版第 10 节. 改变编排次序，把拉格朗日定
理放在前面，然后引出 GH.
. 2.11 节（平面等距变换）在旧版第 12 节的基础上稍做改动.
第 3 章：同态和商群
. 改动概述：主要目的是通过增加更多例子来引出理论，并介绍如何用群作用证明
群的性质.
. 3.12 节 ～ 3.15 节分别以旧版第 14 ～ 17 节为基础.
. 3.12 节（商群）从例子 ZnZ 开始引出一般结构. 从正规子群而不是从同态来定
义商群. 再介绍如何由同态形成商群.
. 3.13 节（商群计算和单群）增加了一些商群计算的例子. 在计算中明确使用同态
基本定理.
VI
. 3.14 节 (群在集合上的作用) 拓展一般线性群和二面体群在集合上的作用的例子.
增加群对有限群作用的应用，得到西罗定理，包括柯西定理和 p 群有非平凡中心
的事实.
. 3.15 节 (G 集在计数中的应用) 稍做改动.
第 4 章：群论进阶
. 改动概述：这一章移到更靠近其他群论部分，增加更多例子来阐明概念.
. 4.16 节（同构定理）对应旧版第 3 节. 增加了两个例子，重写两个定理的证明.
. 4.17 节（西罗定理）对应旧版第 36 节和第 37 节. 在新版 4.14 节中，已介绍由柯
西定理结合其他定理推导西罗定理，所以这部分内容在本节中不再出现，同时合
并了旧版第 36 节和第 37 节. 增加一些例子和习题，重写了一个证明.
. 4.18 节（群列）对应旧版 4.35 节. 查森豪斯引
